音乐与数学，算法与和旋

对乐理的理解必须深入到数学，物理（声学），生理学（人的听觉系统）。

西方音乐界逐渐从“好律”又发展到“十二平均律”，这是一种以2的根号12次方为等比的律法，将八度内的音平均分为十二份。

其实早在16世纪（1581年左右）我国明朝的朱载堉就计算出了十二平均律，称为新法密率，然并卵，

没有中国的音乐家使用它。

十二平均律的计算方法很简单，以某音为基础，只需要不断乘以2的根号12次方即可得到下一个音的频率，如下表：

十二平均律（equal temperament）与托勒密音阶（Ptolemy scale, 是一种 Just intonation），关于 major 和弦（major triad）的声音波形的对比。

Just intonation 的 major triad 是很规则的，周期性的，而平均律的 major triad 则不大规则，看不出来周期在哪里。其实由于平均律是无理数算出来的，所以它的周期可以说是无穷大。

托勒密（Ptolemy）就是那个创建了“地心说”的古罗马天文学家，总是在科学课程里作为哥白尼的反面人物，导致布鲁诺被烧死的那个人。公元前 100 年的古人了，导致 1500 年后一个不信他的人被烧死。但托勒密其实也遭到同样的待遇，因为他改进和简化了毕达哥拉斯的音阶，使得它更和谐，以至于被毕达哥拉斯的信徒们封杀 1200 年。才一抬头，结果在 1324 年教皇 John XXII 又颁布一个命令，禁止在教堂里使用托勒密音阶，原因是它“太性感”[坏笑]

曾经有学作曲的人跟我说，作曲 20 多年了，不知道为什么某些和弦好听，也许并没有“为什么”。我觉得肯定能知道“为什么”，只是他们没有很好地利用数学，物理和生理学而已。利用数学，我可以算出来在同一个音阶里，为什么某个和弦比另一个更和谐。我也可以算出来，托勒密音阶比十二平均律和毕达哥拉斯音阶都要更和谐。

至于听起来到底好了多少，就比较主观了。对于我的耳朵来说，是听不出来的

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