图说乐理发展：数学和音乐关系
Author：zhoulujun Date：
早在很久以前，古希腊时的哲学家、数学家毕达哥拉斯是单弦琴（monochord）的发明者，提出了以其名字命名的和弦（harmony）理论，并被认为是音高比例的发现者。同时，当今的音乐制作的基础是数字信号处理，数字信号处理的基础是数学。
首先我们用几张图来了解下数学和音乐的关系
朱載堉首创十二平均律乐器
泛音与傅里叶（正余弦）级数分解
赋格
（注意重复的 Thema 之间五度（四度）的关系）
电子音乐减法合成器原理
毕达哥拉斯音差
音乐是可以量化的，其次它属于声音的艺术，所以一定是和数学有关联的。
早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理论家，都是被当做科学家来看待的。
早期的音乐大概有两个大的分类，"music as theory"和"music as practice“，前者从纯粹的理论方面来研究音乐，后者是从表演方法的角度来研究。前者的研究，很多都是和数学重合的。
另外，从很多音乐创作技法和观念上来说，也是和数学有紧密联系的。比如早期音乐中时值最开始是以三等分来划分，后来才发展出两等分；以及各个模仿声部之间的比例的确定（早起音乐是没有我们今天乐谱上的小节线的，所以，音与音之间的时值比例在那时是一个更本质的音乐理论和创作元素）；早期对八度、五度的运用，到逐渐加入三度和六度的过程，以及一直避免三全音的观念；音乐高潮放在黄金分割点上的技法；另外，一个实际的音乐作品的例子是Dufay的Nuper rosarum flores. 这部献给佛罗伦萨大教堂的委约作品，其音乐结构中包含了各种影射教堂建筑结构的数学比例，比如：talea的6：4：2：3的比例就是教堂圆顶的nave, transept, apse和高度的比例等等。
巴洛克时期发展成熟的各种复调手法，从某种程度上来说也就是数字的游戏。比如对主题的倒影，逆行和倒影逆行。整个巴洛克时期、古典时期和浪漫主义时期通用的功能和声，也是和数学模式紧密相关的。比如V-I(i)就能确立一个新调，或者传统的转调都是在近关系调之间转，或者模进中的“首调模进”和“变调模进”的区别在哪（音阶不变或者音程不变），本质上都是长久以来从一个数学的逻辑推导出来的。20世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，不论是自由无调性还是序列音乐，还是再往后一点的octatonic音乐，都是建立在”音集“(set或者collection）理论上的。
这个”音集“，就是把一个音高组合的材料数字化，然后再去用各种方式进行变形和”变奏“来发展。另外，不论是十二音的完整matrix，还是octatonic的音阶的移位，还是梅西安自己的有限移位调式，只要涉及到调式或者音阶的移位(transposition), 那都是和数学紧密相关的。另外一些音乐创作手法比如新复杂主义，根本性的构思就在于更加多变的音符时值比例，乐谱都是这样的：
音乐中的音程有严格的数学理论，一个大调中如果以根音C（do)的频率为1，那么其他音的频率分别为D(re)=9/8, E(mi)=5/4, F(fa)=4/3, G(so)=3/2, A(la)=5/3, B(si)=15/8, 高音do=2，而如果我们从B大调出发就可以得到其他音的频率：小二度(升do)=16/15, 小三度(升re)=6/5, 三全音(升fa，增四度)=64/45, 小六度(升so)=8/5 ,小七度(升la)=16/9。
不同音之间的协和程度则是看两个音的最小公倍数，其本质是频率相合的程度。比如C4 (do) 和C5 (高音do)的最小公倍数为2，是所有音中最小的，它们被称为纯八度，是最和谐的音。其次则是纯五度(do 和 so), 公倍数为3。而增四度（三全音）则是最不和谐的音，公倍数为64。和弦的协和程度也可以用最小公倍数比较。
上述都是在C大调的情况，转到其他调只要把所有音移动相应的音程即可，但是上述算法在其他调上的音并不和原来C大调上吻合，如转到D调时D和E的频率关系为10/9，和原来C调上的9/8不同，这导致各个调的“情感”会有很大差别。为了修正这点，人们采用了十二平均律。十二平均律是指将八度音程按频率等比例地分成十二等份（注意这里的等分并不是等差而是等比），每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。
在数学上，一个小二度的频率比则变成了2的12分之一次方。下面是原有的频率关系和十二平均律的比较，可以看到两者是十分接近的。由于人耳有0.5%的频率误差，所以基本听不出来。
在19世纪，数学家傅里叶证明了任何周期函数都可以写作正弦函数的和（下图），而声波正是一种周期函数，声音的三种品质：音量、音调、音色分别对应该函数的振幅、频率和分解得到的正弦函数序列。
现代电子乐的音色大部分都是合成器调出来的，本质上就是对于声波的各种包络和形状的操作，背后有着一套严格的数学理论和算法。
最后希望你能成为一个数学也好、音乐也好的人。
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