泊松分布的仿真与应用

本文基于：泊松分布的仿真与应用 https://www.luochang.ink/posts/poisson/

概率分布

什么是概率分布？

数据在统计图中的形状，叫做它的分布。

概率分布：就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。

常见的4种概率分布

当你遇到一个事情，

• 二项分布：如果该事情发生次数固定，而你感兴趣的是成功的次数，比如：重复事情做x次，会成功几次？

• 几何分布：如果你需要知道尝试多次能取得第一次成功的概率。比如：进行x次尝试这个事情，取得第1次成功的概率是多大。

• 泊松分布：如果你想知道某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大。比如一天内中奖的次数，一个月内某机器损坏的次数等。

• 正态分布：正态分布是一个无限支持的连续单元概率分布。
  

Poisson distribution(泊松分布)

泊松分布 表示在给定时间段内发生给定数量的事件的概率。

这个定义比较抽象。举个具体的例子，假设你每小时接到电话的概率是固定的，比如每小时 0.05 个，那么你在接下来 1 小时内接到电话个数的概率，就服从泊松分布:

1 小时内接到 0 个电话，对应一个概率值 P₀；

1 小时内接到 1 个电话，对应一个概率值 P₁；

… …

1 小时内接到 n 个电话，也对应一个概率值P_n。

这些概率值组成一个概率分布列，它们的值 (n,P_n)(n,Pn) 在二维坐标下连成一条曲线。这条曲线所在的函数就是泊松分布的概率密度函数。

P(k|t,λ)=((λt)^k/k!)exp(−λt)  =    = 

从公式中，我们可以看出：只要确定了 λ 和 t，该式就退化成了概率 P 关于事件发生次数 k 的函数。 类似地，如果我们确定了 λ 和 k，则该式退化成概率P 关于时间范围 t 的函数。

“确定哪些参数，让函数最终退化成哪些参数的函数”，这个选择和我们的研究目的有关。如果你对不同 k 如何影响 P 值感兴趣，那么就应该确定参数 λ 和 t。如果对 t 和 P 之间的关系感兴趣，那么就应该确定参数 λ 和 k。

λ, k, t 的定义：

• λ: 单位时间内，事件发生的频率——λ 则类似该事件的一个固有属性，λ 越大，可以简单理解为该事件在一段时间内发生的概率越大。

• k: 事件发生次数——k 指代的是某事件发生多少次。

• t: 观测事件发生次数的时间范围—— t 指代的是多长时间。

泊松分布衡量的是多长时间内，某事件发生多少次的概率。泊松分布的本质还是二项分布，泊松分布只是用来简化二项分布计算的。

泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

• 二项分布是：已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从于二项分布。

• 泊松分布是：指某段连续的时间内某件事情发生的次数，而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。

例如，在五分钟内，电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。

假如你把“连续的时间”分割成无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”，这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份，因此n(试验次数)很大。所以，泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布，它可以描述非常多的随机的自然界现象，因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。

Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义，或者说是Poisson Process的定义：假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：

1. 将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。

2. 在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。

3. 该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。

泊松分布特点

1. 事件是独立事件：对于独立事件，本次结果与之前无关。赌徒谬论:独立事件和关键事件概率计算不同，类似抽奖这样的就是独立事件

2. 在任意相同的时间范围内，事件发的概率相同：例如1天内中奖概率，与第2天内中间概率相同

3. 某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大：例如你搞了个促销抽奖活动，想知道一天内10人中奖的概率

符合以上3个特点就是泊松分布。

在统计学上，只要某类事件满足三个条件——小概率事件、独立、稳定，它就服从"泊松分布"。

如果美国大规模枪击满足泊松分布：

（1）枪击案是小概率事件。

（2）枪击案是独立的，不会互相影响。

（3）枪击案的发生概率是稳定的。

第三个条件是关键。成立，就表示美国的治安没有恶化；一旦不成立，则说明枪击案的发生概率不稳定，正在提高，美国治安恶化。

泊松分布的本质

尽管泊松分布的函数形式看起来很复杂，但它本质上其实很简单。泊松函数的本质，也就是它的基本假设，可以追溯到一个简单的公式：

P=λΔt

这个公式看起来太过简单，以至于你可能不相信它能推导出上文那个复杂的泊松分布函数。如果你想了解推导过程，可以看我之前写的博客 排队论在网络性能分析中的应用，里面有详细证明。本文的主题不在与于，就不展开讲了。

推导泊松分布

假设我们有一颗栗子树，有时候因为风或者是小动物活动的关系，树上可能会掉下栗子来，树上掉栗子显然是一个偶然事件，并且发生的概率很低，那么我们怎么求它的概率分布呢？

其实我们可以将事件切分，将这个问题转化成二项分布问题。

比如我们把一天的时间切分成了若干份，这样对于每一份时间来说，最多只会掉一个栗子。那么，这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样，所以只要我们将时间切分得足够细，就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子（否则就不满足二项分布）。

假设我们把一天的时间切分成了n份，我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率，根据二项分布的公式，这个概率就是：P(k)=Cn^Kp^k(1-p)^n-k

到这里，我们往前迈出了坚实的一步，写出了概率的表达式。

我们虽然有了式子，但是好像没什么用，因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率，我们怎么知道这个概率是多大呢？难道还真的去测量吗？

要解决这个问题，还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望，显然对于每一个单位时间而言，发生栗子掉落的概率是p，所以整体的期望是：

E(X)=np

我们令这个期望值是[公式]，那么根据这个式子，我们可以表达出p了。

p=λ/p

我们把这个p的式子带入原式，可以得到：

前面说了，为了满足二项分布，我们需要让单位时间尽量小，防止会有同一时刻掉下两个栗子的情况发生。所以这个n应该越大越好，我们可以用上之前学过的极限，让n趋向于无穷，所以这个问题就变成了一个求极限的问题。

我们来算一下这个极限：

我们把这个极限拆分开来看，其中：

所以，我们代入，可以得到：

这个就是泊松分布的概率密度函数了，也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是[公式]。

也就是说泊松分布是我们将时间无限切分，然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说，它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是，当n很大，p很小的时候，我们使用二项分布计算会非常困难，因为使用乘方计算出来的值会非常巨大，这个时候，我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。

从数学的觉得，还是看这篇《泊松分布 (Poisson Distributions) 的推导》较好

泊松分布的应用

预测未来发生的事件数！

更正式地说， 在固定的时间间隔内,预测给定事件数量的可能性.

例如：如果您曾经作为销售人员，则可以将作为售卖的“事件”定义，例如，某个顾客从您那里购买某物（事实是关键时刻，而不仅仅是浏览）。

• 可能是您每天在网站上吸引的访问者人数，

• 下个月广告获得的点击次数，

• 轮班期间获得的电话次数，

• 甚至明年死于致命疾病的人数等等。

参考内容：

泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ - ctian的回答 - 知乎

用一个”栗子“讲清楚泊松分布 https://zhuanlan.zhihu.com/p/139114702

一文秒懂概率分布 https://zhuanlan.zhihu.com/p/28309212

泊松分布与美国枪击案 http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html

泊松分布 (Poisson Distributions) 的推导 https://zhuanlan.zhihu.com/p/26263743

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