代数历史

代数概念

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

代数历史

西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖，而真正创立代数的则是古阿拉伯帝国时期的伟大阿拉伯数学家、天文学家阿尔默罕默德·伊本·穆萨（我国称为“花剌子密”，生卒约为公元780-850年）——著作《代数学》。“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。

初等代数

代数的起源可以追溯到古巴比伦的时代，当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算。经由此系统地被使用，他们能够列出含有未知数的方程并求解，这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地，这一时期大多数的埃及人及西元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的，如在兰德数学纸草书、绳法经、几何原本及九章算术等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作，以几何原本为其经典，提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答代数方程之更一般的系统之架构。

代数（algebra）导源于阿拉伯语单字“al-jabr”，其出自 al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala这本书的书名上，意指移项和合并同类项之计算的摘要，其为波斯回教数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此词的意思为“重聚”。传统上，希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”，的成果到今日都还有用途，且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetical里出现的更为基本，且Arithmetical是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。[3]另一位波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出代数几何出，且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。

高等代数

代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解，其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中，并于十年后由莱布尼茨继续发展着，其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔·克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪，一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

代数发展阶段

算术阶段

时间：距今约三千八百年至公元三世纪。

特点：运算符号不统一，代数从几何中分离。

古埃及和古巴比伦的早期文献中有代数方面问题的记载。

公元三世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人物是被誉为代数学鼻祖的丢番图。他在其著作《算术》一书中，讲了数的理论，包括符号运算法则，二次方程、特殊三次方程和不定方程的解法等，其中只求整数解的整系数方程被后人称为“丢番图方程”。丢番图对代数的主要贡献在于将代数从几何的羁绊中解脱出来（注：希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。），而成了一门完全单独的学科。

数与方程理论的完备阶段：

时间：公元七世纪至十六世纪。

特点：无理数与虚数的发现，符号统一。

几个具有里程碑意义的发展：

无理数的发现

毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现第一个无理数，颠覆了本学派领袖的“一切数都可以表示成整数与整数的比”的观点。由此引发了第一次数学危机。

注：三次数学危机：第一次：无理数的发现；第二次：微积分的应用；第三次：罗素悖论与康托尔的集合论。

运算符号的创立与无理方程的解法

在印度，从公元七世纪的数学家婆罗摩笈多创立表示量的概念和描述运算的一套符号，到12世纪婆什迦罗提出负平方根的概念、研究无理方程的解法和无理数的运算法则，把代数学的研究推向了新的阶段。

虚数理论的建立

16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。

1806年德国数学家高斯对虚数用平面直角坐标系表示以后，虚数才渐渐被数学家肯定。

线性代数阶段

时间：十七世纪-十九世纪

特点：解决线性问题，矩阵，行列式，向量的工具出现。为工业化社会服务。

由于费马和法国笛卡尔（引入迪卡尔坐标系，将代数与几何统一）的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。

行列式的概念最早是由十七世纪德国的数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1750年克莱姆完善。第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙。

1841年德国数学家雅可比总结并提出了行列式的系统理论。他在此领域结论最丰富。

1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵（matrix）这个词。英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来。

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述。但并没有利用向量与矩阵的工具。

19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

1888 年，意大利数学家皮亚诺（Peano）给出了向量空间的公理化定义。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．

抽象代数（近世代数）阶段

时间：公元十九世纪至现在。

特点：从重视形式与技巧到重视代数结构。为信息化社会服务。

创始人：伽罗瓦；米.诺特。

抽象代数学（也称近世代数学）则是在初等代数学的基础上，于二十世纪形成的、以研究各种代数结构为中心的一门学问。

创始人介绍：

伽罗瓦（Galois, Evariste,1811-1832）

伽罗瓦对数学的贡献在于：他不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一。”

生平简洁

法国数学家伽罗瓦从小性格乖僻，不喜欢只注重形式与技巧的教师的讲课方式。善于思考，求知欲强。十五岁就读如拉格朗日和欧拉等许多名师的著作。十七岁创立“群”的思想。写了第一篇论文。由柯西审稿，可惜论文遗失。十八岁写第二篇论文，由傅立叶审稿，但没来得及审稿他就去世了。第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。这篇论文他，第一次提出了“置换群”的概念，进而创立了“群”的理论，使他成为“群论”的创始人。但因为审稿的泊松不理解而被否定。

他是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式。他的深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神。

他也是一个革命者，他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期。在法国历史上著名的1830年的“七月革命”中，刚考进法国巴黎师范大学的十九岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。曾两度入狱。

21岁，他为爱情死于决斗。决斗前，他将生平所研究的匆写给他的一位好友，请求他交给高斯。他死亡十四年后他的论文的价值才得到确认。

米.诺特（EmmyNoether,1882－1935）

研究对象：群，环，域，格，模，向量空间等代数结构。

特点：

1. 从代数结构的高度研究广义的“数”之间的相互关系。从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式

2. 通过研究代数结构，许多看起来很不相同的代数系统在结构上却是十分相似或相同的。这样，我们不但可以将许多问题更加统一进行研究，而且使学科的交叉渗透更加简易而且成为必然。

生平简洁

德国犹太女数学家米.诺特，生于德国大学城——爱尔兰根。1893年冬天，她来到哥廷根大学，直接听到希尔伯特、克莱因、闵科夫斯基等著名数学家讲课。1904年德国大学改制，允许女生注册，当年10月她便正式回到爱尔兰根注册学习，博士导师戈丹。戈丹去世后，接替他的先是施密特，后是费歇尔。在费歇尔指导下，诺特逐步实现了从戈丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变。费歇尔对诺特的学术发展的影响较大。

1915年，哥廷根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥廷根。她因为性别歧视原因而只能以希尔伯特之名讲课。一次世界大战结束后，德意志共和国成立了，情况才发生变化。1919年诺特才当上了讲师，1922年至1933年，她取得“编外副教授”职位。

1920年以后，诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。她从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，然后用统一的方法加以处理，得出一般性的理论，用她的这种理论又能处理各个不同领域的特殊性的问题。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成于1926年。从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

诺特对抽象代数学发展所产生的巨大影响，并不完全出自她的论文，更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。她的讲课技巧并不高明，既匆忙又不连贯。但是，她常详细叙述自己尚末最终定型的新想法，其中充满了深刻的哲理，也充满了不同凡响的创造激情。她的学生其中有十几位学生后来成为著名数学家。

1933年因为希特勒迫害被勒令离开大学。后一度到苏联访问。1933年后移居美国，在美国布林马尔女子学院任教，并在普林斯顿高等研究院兼职。

1935年春因患癌症去世。终身未嫁。

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