GIS坐标系测绘原理:大地水准面/基准面/参考椭球体/EPSG/SRI/WKT

大地水准面 (geoid)

地球的自然表面不是平整的，需要想办法用数学公式描述地球表面，只能设想一个近似的数学面。

大地水准面是海洋表面在排除风力、潮汐等其它影响，只考虑重力和自转影响下的形状，这个形状延伸过陆地，生成一个密闭的曲面。虽然我们通常说地球是一个球体或者椭球体，但是由于地球引力分布不均（因为密度不同等原因），大地水准面是一个不规则的光滑曲面。虽然不规则，但是可以近似地表示为一个椭球体，这个椭球体被 称为参考椭球体（Reference ellipsoid）。大地水准面相对于参考椭球体的高度被称为 Undulation of the geoid 。这个波动并不是非常大，最高在冰岛为85m，最低在印度南部为 −106m，一共不到200m。下图来自维基百科，表示 EGM96 geoid 下不同地区的 Undulation。

参考椭球体（Reference ellipsoid）

参考椭球体（Reference ellipsoid）是一个数学上定义的地球表面（测绘时用椭球模型逼近），它近似于大地水准面。因为是几何模型，可以用长半轴、短半轴和扁率来确定。我们通常所说的经度、纬度以及高度都以此为基础。

赤道是一个半径为a的近似圆，任一圈经线是一个半径为b的近似圆。a称为椭球的长轴半径，b称为椭球的短轴半径。

a≈6378.137千米，b≈6356.752千米。（实际上，a也不是恒定的，最长处和最短处相差72米，b的最长处和最短处相差42米，算很小了）

地球参考椭球基本参数：

• 长轴：a  

• 短轴：b

• 扁率：α=(a-b) / a

• 第一偏心率：e=√(a²-b²) / a

• 第二偏心率：e'=√(a²-b²) / b 

这几个参数定了，参考椭球的数学模型就定了。

一方面，我们对地球形状的测量随着时间迁移而不断精确，另一方面，因为大地水准面并不规则，地球上不同地区往往需要使用不同的参考椭球体，来尽可能适合当地的大地水准面。

历史上出现了很多不同的参考椭球体，很多还仍然在使用中。国内过去使用过“北京54”和“西安90”两个坐标系，其中北京54使用的是克拉索夫斯基（Krasovsky）1940的参考椭球，西安80使用的是1975年国际大地测量与地球物理联合会第16届大会推荐的参考椭球。当前世界范围内更普遍使用的是WGS所定义的参考椭球。

常见的椭球体的参数

	克拉索夫斯基椭球	   1975 GRS椭球体	   WGS-84椭球体
a	6 378 245.000 m	   6 378 140.000 m	   6 378 137.000 m
b	6 356 863.019 m	   6 356 755.288 m	   6 356 752.314 m
à	   1/298.3	         1/298.257	        1/298.257 224
è	0.006 693 422	   0.006 694 385	   0.006 694 380
é	0.006 738 525	   0.006 739 502	   0.006 739 497

大地基准面

椭球体是对地球的抽象，不能与地球表面完全重合，在设置参考椭球体的时候必然会出现有的地方贴近的好（参考椭球体与地球表面位置接近），有地地方贴近的不好的问题，因此这里还需要一个大地基准面来控制参考椭球和地球的相对位置。有以下两类基准面：

• 地心基准面：由卫星数据得到，使用地球的质心作为原点，使用最广泛的是 WGS 1984。

• 区域基准面：特定区域内与地球表面吻合，大地原点是参考椭球与大地水准面相切的点，例如Beijing-54、Xian-80。称谓的Beijing-54、Xian-80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。

大地水准面、参考椭球体、大地基准面

• 大地水准面是地球表面的第一级逼近。假设当海水处于完全静止的平衡状态时，从海平面延伸到所有大陆下部，而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的曲面，这就是大地水准面。

• 地球椭球体是地球表面的第二级逼近。大地水准面可以近似成一个规则成椭球体，但并不是完全规则，其形状接近一个扁率极小的椭圆绕短轴旋转所形成的规则椭球体，这个椭球体称为地球椭球体。

• 大地基准面是地球表面的第三极逼近。

大地坐标系与空间直角坐标系

• 大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示：(L, B, H)。

• 空间直角坐标系是以参考椭球中心为原点，以原点到0度经线与赤道交点的射线为x轴，原点到90度经线与赤道交点的射线为y轴，以地球旋转轴向北为z轴：(x, y, z)

共同点：显然，这两种坐标系都必须基于一个参考椭球。

不同点：大地坐标系以面为基准，所以还需要确定一个标准海平面。而空间直角坐标系则以一个点为基准，所以还需要确定一个中心点。

只要确定了椭球基本参数，则大地坐标系和空间直角坐标系就相对确定了，只是两种不同的表达而矣，这两个坐标系的点是一一对应的。

坐标系原点如何选址

为什么WGS84选地球质心作原点，而西安80选地表上的一个点作原点？中国选的大地原点有什么作用？为什么选在泾阳县永乐镇？既然作为原点，为什么经纬度不是0？

此文讲的很透彻《地球坐标系与投影方式的理解(关于北京54,西安80,WGS84;高斯,兰勃特,墨卡托投影)》

• 北京54： 长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.2997381

  建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，我国将原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据(大地原点在原苏联的普尔科沃)，平差我国东北及东部区，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。

  高程基准为 1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。
  

• 西安80： 长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101

  1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。

  基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）
  

• WGS84：长轴6378137.000m，短轴6356752.314，扁率1/298.257223563，第一偏心率0.081819790992，第二偏心率0.082095040121

这些参数不同，决定了椭球模型的几何中心是不同的。那么为什么这三种坐标系的参数有这么大差别呢？除了测量精度不同之外，还有一个原因，就是侧重点不一样。

• WGS84是面向全球的，所以它尽量逼近整个地球表面，优点是范围大，缺点是局部不够精确。

• 北京54用的是前苏联的参数，它是面向苏联的，所以它在前苏联区域这个曲面尽量逼近，而其它国家地区偏多少它不管。它以苏联的普尔科沃为中心，离那越远，误差就越大。

• 西安80是面向中国的，所以它在中国区域这个曲面尽量逼近，而其它国家地区偏多少它不管。而且这个逼近是以西安附近的大地原点为中心的，也就是说，在西安大地原点处，模型和真实地表参考海平面重合，误差为0，而离大地原点越远的地方，误差越大。所谓的大地原点就是这么来的，它是人为去定的，而不是必须在那里，它要尽量放在中国的中间，使得总的误差尽量小而分布均匀。然后，我国在自已境内进行的建筑，测绘，勘探什么的所绘制的图，都以这个大地原点为基准，去建立各种用途的地表坐标系，就能统一起来了。

所以在中国区域，WGS84模型是没有西安80模型那么准确。而用西安80模型来算美国的点，则更不准确。现在更新为2000国家大地坐标系，参数比西安80更精确了，而道理是一样的。

都说WGS84是质心坐标系，北京54，西安80是参心坐标系

WGS84坐标，笛卡尔空间坐标系(笛卡尔空间坐标的原点就是椭球的中心)常用来做一些空间位置变换如平移旋转缩放等等。二者的联系如下图

何谓质心？何谓参心？

• 质心就是地球体的质量中心，也就是重心

• 参心就是几何中心，称之为参考中心，简称参心

地球椭球的中心与地球质心差异而产生的两类坐标

• 地心大地坐标系：指经过定位与定向后，地球椭球的中心与地球质心重合。如CGCS2000、WGS84。

• 参心大地坐标系：指经过定位与定向后，地球椭球的中心不与地球质心重合而是接近地球质心。区域性大地坐标系是我国基本测图和常规大地测量的基础。如Beijing-54、Xian-80。

WGS84坐标系面向全球定位，所以它所建立的模型是最中庸的，没有偏向任何一个地区，椭球体模型的几何中心与地球质心重合时，模型就会最接近整个地球。

北京54和西安80侧重于局部的精确性，而舍弃整体的精确性，当椭球模型(西安80)在中国区域最精确时，它的几何中心肯定不是地球质心，而在别的地方。

地图在平面上的投影

投影的概念很简单，就是投射的影子。好比黑暗屋子有一处光，投到你伟岸的身躯，墙上必然会有影子，这个影子就是你的身体对应这面墙的投影。

投影的数学意义

如上图, 求向量y到平面W的最短距离。对于点y，沿着平面W的法线方向（垂直于平面W），和W相交于y’，此时误差z最小，就是我们要找的答案。因为该射线是垂直于该平面(perpendicular)，因此称为正交(orthogonal)投影。现实生活中，从一大堆统计点中拟合出一条有规律的线，就需要用最小二乘法，其实就是正交投影的思路。对应的数学描述为：当W平面中Ax = y无解时，转换为Px= y的形式，使其有解。

当然，这样做有什么好处？大家对比一下自己的身体和身影的区别，答案就是把三维的问题变成了一个二维的问题，这就是一个降维的思想，也是投影的价值。为了简化问题，限定在某一范围内，就要进行必要的降维（消元），如果因此导致问题无解，通过合适的投影矩阵P找到解。

投影的现实意义

各种原因吧，很多时候我们都需要抽象到二维空间，方便理解，降低成本。比如，显示器明明是平的，如何带给我们“深度”的错觉；地球明明是圆的，可地图看起来是平的。

两者的区别如上，前者采用了透视投影，眼睛认知世界也是采用该投影方式，因此，我们可以通过“平”幕感觉出深度。而后者采用正交投影，无论远近大小都一样。但两者在数学理论上并无本质区别，都是矩阵P，只是P中的元素不同罢了。

我们的地图，总得画在纸上，在显示器上吧，不然到处拎着地球仪？地球上的点是用经纬度表示的，纬度越高的地方，1度的经度的距离就越短。那么，问题来了，地球表面是曲面，而且经纬度与长度距离并不是简单的比例关系，怎样画到平面上？答案是，投影算法。好，问题又来了，投影算法哪家强？

高斯-克吕格投影/横轴墨卡托投影

此投影因系德国数学家高斯(Gauss)首创，后经克吕格(Kruger)补充，故名高斯-克吕格投影(Gauss- Kruger Projection)或简称高斯投影。

假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面而成的。

高斯克吕格投影是分带投影的，主要分有3度带和6度带两种。3度带就是经度每3度一个带，全球切成120个带；6度带就是经度每6度一个带，全球切成60个带。不同的带之间各有各的原点自成xy坐标系，不能用本带的xy坐标系去计算其它带的，因为原点都不同了。

高斯投影分带

• 为了控制变形，采用分带投影的办法，规定1∶2.5万－1∶50万地形图采用6°分带；1∶1万及更大比例尺地形图采用3°分带，以保证必要的精度。

• 6°分带法：从格林威治0°经线起，自西向东按经差每6°为一投影带，全球共分为60个投影带，我国位于东经72°～136°之间，共包括11个投影带，即13～23带，各带的中央经线分别为75°，81°，……，135°。

• 3°分带法：从东经1°30¢算起，自西向东按经差每3°为一投影带，全球共分为120个投影带，我国位于24～46带，各带的中央经线分别为72°，75°，78°，……，135°。

高斯克吕格投影的变形分析：

1. 中央经线上无变形，满足投影后长度比不变的条件；

2. 除中央经线上长度比为1以外，其它任何点长度比均大于1；

3. 在同一条纬线上，离中央经线越远则变形越大，最大值位于投影带边缘。

4. 在同一条经线上，纬度越低变形越大，最大值位于赤道上。

5. 等角投影，无角度变形，面积比为长度比的平方。

6. 长度比的等变形线平行于中央轴子午线。

优点：长度和面积变形是最小的(比起其它投影)。

缺点：需要分带，相邻的带不能拼接(上尖下宽怎么接？好难个)，导致覆盖范围小。

所以高斯投影适用于小地区的地图，一个带就能覆盖的地区。

兰勃特投影

有两种：

等角圆锥投影

设想用一个正圆锥切于或割于球面，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开成平面。投影后纬线为同心圆圆弧，经线为同心圆半径。没有角度变形，经线长度比和纬线长度比相等。适于制作沿纬线分布的中纬度地区中、小比例尺地图。市面上的中国地图应该就是用这种投影的。

等积方位投影

设想球面与平面切于一点，按等积条件将经纬线投影于平面而成。按投影面与地球面的相对位置，分为正轴、横轴和斜轴3种。在正轴投影中，纬线为同心圆，其间隔由投影中心向外逐渐缩小，经线为同心圆半径。在横轴投影中，中央经线和赤道为相互垂直的直线，其他经线和纬线分别为对称于中央经线和赤道的曲线。在斜轴投影中，中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。该投影无面积变形，角度和长度变形由投影中心向周围增大。横轴投影和斜轴投影较常应用，东西半球图和分洲图多用此投影。

墨卡托投影

墨卡托(Mercator)投影，又名“等角正轴圆柱投影”，是荷兰地图学家墨卡托（Mercator）在1569年拟定，假设地球被围在一个中空的圆柱里，其赤道与圆柱相接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅标准纬线为零度（即赤道）的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

优点：没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角。

缺点：长度和面积变形明显，纬线间隔从基准纬线处向两极逐渐增大。但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。

谷歌地图，百度地图用的就是墨卡托投影，且以赤道作基准纬线。

Web墨卡托投影

Web墨卡托投影（又称球体墨卡托投影）是墨卡托投影的变种，它接收的输入是Datum为WGS84的经纬度，但在投影时不再把地球当做椭球而当做半径为6378137米的标准球体，以简化计算。

Web墨卡托投影有两个相关的投影标准，经常搞混：

• EPSG4326：Web墨卡托投影后的平面地图，但仍然使用WGS84的经度、纬度表示坐标；

• EPSG3857：Web墨卡托投影后的平面地图，坐标单位为米。

常见地图投影总结

• 高斯-克里格投影：适用于小地区的地图

• 兰勃特正形圆锥投影：适用于东西延展大于南北延展的中纬度地区。

• 网络墨卡托：Google地图和微软虚拟地球应用的是网络墨卡托，它是基于球体而不是椭球体的墨卡托投影，可以简化计算，但是损失了精度。因此用户再利用这种投影来做数据分析的时候必须考虑重投影。
  

地理坐标系与投影坐标系

地理坐标系（Geographic coordinate system）

地理坐标系一般是指由经度、纬度和高度组成的坐标系，能够标示地球上的任何一个位置。前面提到了，不同地区可能会使用不同的参考椭球体，即使是使用相同的椭球体，也可能会为了让椭球体更好地吻合当地的大地水准面，而调整椭球体的方位，甚至大小。这就需要使用不同的大地测量系统（Geodetic datum）来标识。因此，对于地球上某一个位置来说，使用不同的测量系统，得到的坐标是不一样的。我们在处理地理数据时，必须先确认数据所用的测量系统。事实上，随着我们对地球形状测量的越来越精确，北美使用的 NAD83 基准和欧洲使用的 ETRS89 基准，与 WGS 84 基准是基本一致的，甚至我国的 CGCS2000 与WGS84之间的差异也是非常小的。但是差异非常小，不代表完全一致，以 NAD83 为例，因为它要保证北美地区的恒定，所以它与 WGS84 之间的差异在不断变化，对于美国大部分地区来说，每年有1-2cm的差异。

投影坐标系（Projected coordinate systems）

地理坐标系是三维的，我们要在地图或者屏幕上显示就需要转化为二维，这被称为投影（Map projection）。显而易见的是，从三维到二维的转化，必然会导致变形和失真，失真是不可避免的，但是不同投影下会有不同的失真，这让我们可以有得选择。常用的投影有等矩矩形投影（Platte Carre）和墨卡托投影（Mercator），下图来自Mercator vs. well…not Mercator (Platte Carre)，生动地说明了这两种投影下的失真：

左图表示地球球面上大小相同的圆形，右上为墨卡托投影，投影后仍然是圆形，但是在高纬度时物体被严重放大了。右下为等距投影，物体的大小变化不是那么明显，但是图像被拉长了。Platte Carre 投影因为在投影上有扭曲，并不适合于航海等活动，但是因为坐标与像素之间的对应关系十分简单，非常适合于栅格图的展示，Platte Carre 投影是很多GIS 软件的默认投影。

需要注意的是，对于墨卡托投影来说，越到高纬度，大小扭曲越严重，到两极会被放到无限大，所以，墨卡托投影无法显示极地地区。下图来自维基百科，可以看到墨卡托投影下每个国家的大小和实际大小的差异。但是 conformality（正形性） 和 straight rhumb lines 这两个特点，让它非常适合于航海导航。

 By Jakub Nowosad - Own work, CC BY-SA 4.0, Link

EPSG、SRID、WKT概念

EPSG

EPSG：European Petroleum Survey Group (EPSG)，中文名称为欧洲石油调查组织，官网：http://www.epsg.org，它成立于1986年，并在2005年重组为OGP(Internation Association of Oil & Gas Producers)，中文名称为国际油气生产者协会，它负责维护并发布坐标参照系统的数据集参数，以及坐标转换描述，该数据集被广泛接受并使用。

EPSG对世界的每一个地方都制定了地图，但是由于座标系不同，所以地图也各不相同。

比如对于中国来讲，以地球的几何球心为中心的地图就是EPSG:4479，以地球的椭球焦点为中心就是EPSG:4480，此外还有EPSG:4490，因为选择不同的座标系对于油气勘探的成本至关重要，所以有不同的座标系。

EPSG:3857 (Pseudo-Mercator)

伪墨卡托投影，也被称为球体墨卡托，Web Mercator。它是基于墨卡托投影的，把 WGS84坐标系投影到正方形。我们前面已经知道 WGS84 是基于椭球体的，但是伪墨卡托投影把坐标投影到球体上，这导致两极的失真变大，但是却更容易计算。这也许是为什么被称为”伪“墨卡托吧。另外，伪墨卡托投影还切掉了南北85.051129°纬度以上的地区，以保证整个投影是正方形的。因为墨卡托投影等正形性的特点，在不同层级的图层上物体的形状保持不变，一个正方形可以不断被划分为更多更小的正方形以显示更清晰的细节。很明显，伪墨卡托坐标系是非常显示数据，但是不适合存储数据的，通常我们使用WGS84 存储数据，使用伪墨卡托显示数据。

Web Mercator 最早是由 Google 提出的，当前已经成为 Web Map 的事实标准。但是也许是由于上面”伪“的原因，最初 Web Mercator 被拒绝分配EPSG 代码。于是大家普遍使用 EPSG:900913（Google的数字变形） 的非官方代码来代表它。直到2008年，才被分配了EPSG:3785的代码，但在同一年没多久，又被弃用，重新分配了 EPSG:3857 的正式代码，使用至今。至今已是Google Maps和几乎所有其他Web制图应用程序使用的坐标系。

对于 Web Map 开发人员来说，最熟悉的应该是EPSG:4326 (WGS84) and EPSG:3857(Pseudo-Mercator)，这又是啥呢？

EPSG:4326 (WGS84)

在国际上，每个坐标系统都会被分配一个 EPSG 代码，EPSG:4326 就是 WGS84 的代码。GPS是基于WGS84的，所以通常我们得到的坐标数据都是WGS84的。一般我们在存储数据时，仍然按WGS84存储。

EPSG:3785

这是 EPSG 在 2008 年给 Web Mercator 设立的WKID，但是这个坐标系的基准面是正圆球，不是WGS 1984(伪墨卡托投影->球体墨卡托)。 存在了一段时间后被弃用。

SRS

SRS：Spatial Reference System(SRS)，中文名称：空间参照系。在空间数据库的上下文中，用来描述几何的定义空间被称为空间参照系。空间参照系至少定义以下内容：

• 基础坐标系的测量单位（度、米等）

• 最大坐标值和最小坐标值（也称为边界）

• 缺省线性测量单位

• 数据是平面数据还是椭球体数据

• 用于将数据转换为其它 SRS 的投影信息

每个空间参照系均有一个标识符，称为空间参照标识符（Spatial Reference Identifier，简称 SRID）

SRID

SRID：Spatial Reference Identifiers (SRIDs)，空间引用标识符。OGC标准中的参数SRID，也是指的空间参考系统的ID，与EPSG一致，即：

OGC标准中空间参照系统的SRID与EPSG的空间参照系统ID相一致。

1. 每个空间实例都有一个空间引用标识符 (SRID）

2. SRID 对应于基于特定椭圆体的空间引用系统，可用于平面球体映射或圆球映射
   

3. 从两个空间数据实例派生的任何空间方法的结果仅在这两个实例具有相同的 SRID（该 SRID 基于相同的用于确定实例坐标的度量单位、数据和投影）时才有效。

4. SRID 最常见的度量单位为米或平方米。

具体参看微软SQL Server 2019《空间引用标识符》文档与 maptalks文档《Tile-System》

WKT

WKT：well-known binary（WKT）是一种文本标记语言，用于表示矢量几何对象、空间参照系统及空间参照系统之间的转换。它的二进制表示方式，亦即WKB(well-known binary)则胜于在传输和在数据库中存储相同的信息。该格式由开放地理空间联盟Open Geospatial Consortium(OGC)制定。

WKT/几何对象

WKT可以表示的几何对象包括：点，线，多边形，TIN（不规则三角网）及多面体。可以通过几何集合的方式来表示不同维度的几何对象。

几何物体的坐标可以是2D(x,y),3D(x,y,z),4D(x,y,z,m),加上一个属于线性参照系统的m值。

POINT(6 10)

LINESTRING(3 4,10 50,20 25)

POLYGON((1 1,5 1,5 5,1 5,1 1),(2 2,2 3,3 3,3 2,2 2))

MULTIPOINT(3.5 5.6, 4.8 10.5)

MULTILINESTRING((3 4,10 50,20 25),(-5 -8,-10 -8,-15 -4))

MULTIPOLYGON(((1 1,5 1,5 5,1 5,1 1),(2 2,2 3,3 3,3 2,2 2)),((6 3,9 2,9 4,6 3)))

WKT/空间参照系统

一个表示空间参照系统的WKT字串描述了空间物体的测地基准、大地水准面、坐标系统及地图投影。WKT在许多GIS程序中被广泛采用。

无论是参考椭球、基准面、投影方式、坐标单位等，都有相应 的EPSG值表示，如下表：